Департамент образования Администрации города Дзержинска
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя
школа № 22 с углубленным изучением французского языка»
г. Дзержинска Нижегородской области
Принята на заседании
педагогического совета
МБОУ СШ № 22
с углубленным изучением
французского языка
Протокол № 1 от 29.08.2024

Утверждена приказом
директора МБОУ СШ № 22
с углубленным изучением
французского языка
Приказ № 369-п от 28.08.2024

Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая
программа естественно-научной направленности
«Избранные разделы математики»
Возраст учащихся: 16-18 лет
Срок реализации программы: 2 год

Автор-составитель: Вашуркина Н.Л., Спрыгина Ж.Б.,
педагоги дополнительного образования

2024 год

Пояснительная записка
Данный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикла математического
образования старшей школы и ориентирован на углубление и расширение предметных знаний по
математике и соответствующих компетентностей по ним.
Программа элективного курса состоит из двух завершенных образовательных разделов одной и
то же продолжительности 34 часа:
1. геометрия;
2. функции в задачах с параметрами в курсе старшей школы и на вступительных экзаменах.
Данная программа своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 10 – 11 классов,
которым интересна элементарная математика и её приложения. Предлагаемый курс освещает
вопросы, оставшиеся за рамками школьного курса математики. Он выполняет следующие основные
функции:


развитие

содержания

базовых

учебных

предметов

по

математике,

что

позволяет

поддерживать их изучение на профильном уровне и получить дополнительную подготовку
для сдачи единого государственного экзамена;


удовлетворение познавательного интереса обучающихся, выбравших для себя те области
деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для
изучения закономерностей окружающего мира.

Поэтому одной из важных задач введения этого курса является не только прагматическая
составляющая по развитию интереса к математике как необходимому средству поступления в ВУЗ,
но и

развитие у учащихся интереса собственно к математике. Ученик должен чувствовать

эстетическое удовлетворение от красиво решенной задачи, от установленной им возможности
приложения математики к другим наукам. В математике эквивалентом эксперимента предметов
естественнонаучного цикла является решение задач. Поэтому и курс строится на решении различных
по степени важности и трудности задач.
Направленность курса – развивающая. Прежде всего, он ориентирован на удовлетворение и
поощрение

любознательности

старших

школьников,

их

аналитических

и

синтетических

способностей.
В процессе реализации элективного курса можно использовать разнообразные подходы к
организации занятий как академические лекции, семинары, уроки, так и проектную и
исследовательскую деятельность, практики, игровые технологии и т.д.
Предполагается, что в результате изучения курса учащиеся овладеют:



элементами теории множеств, умением математического моделирования при решении
задач различной сложности, знаниями, связанными с равносильностью уравнений и
неравенств на множестве, что позволяет единообразно решать большие классы задач;



нестандартными методами решений уравнений и неравенств с использованием свойств
функций;



геометрическими сведениями, которые не только помогут учащимся углубить свои
знания по геометрии, проверить и закрепить практические навыки при систематическом
изучении геометрии, но и предоставляют хорошую возможность для самостоятельной
эффективной подготовки к вступительным экзаменам по математике в ее геометрической
части;



навыками решения нестандартных задач, включая задачи с параметром, для этого
предложена некоторая классификация таких задач и указаны характерные внешние
признаки в их формулировках, которые позволяют школьнику сразу отнести задачу к
тому или иному классу;



умениями, связанными с работой с научно-популярной и справочной литературой;



элементами исследовательских процедур, связанных с поиском, отбором, анализом,
обобщением

собранных

данных,

представлением

результатов

самостоятельного

микроисследования.
В рамках данного курса предполагается различный текущий и итоговый контроль: тесты,
самостоятельные работы, выполнение проектов и исследовательских работ. Способ изложения
материала в проектах побуждает учащихся не просто механически запоминать учебный материал, но
и размышлять над ним в процессе обучения.
С учетом того, что данный курс выбирается учащимися самостоятельно, целесообразно, при
оценке результата, использовать наравне с традиционной и нетрадиционную систему оценивания.
Практически по каждой теме, затронутой в программе, курс предоставляет учителю и ученику
дополнительные материалы как теоретического, так и практического характера. Кроме того,
отдельные пункты курса могут послужить основой для докладов на математических кружках и
факультативах. Первый раздел представлен наиболее полно, так как охватывает широкий круг
вопросов.
Данная программа имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию
логического мышления учащихся, намечает и использует целый ряд межпредметных связей.

Примерное учебно-тематическое планирование
программы курса в 10 -11 классах

Всего
часов

Лекции

Выполне
ние
практиче
ских
заданий

Геометрия

34

17

17

Планиметрия

22

11

11

Из истории геометрии.
Занимательные задачи по
геометрии.

1

1

-

Прямоугольный треугольник.

2

1

1

Вычисление медиан, биссектрис,
высот треугольника.

2

1

1

Свойства касательных, хорд,
секущих.

2

1

1

Вписанные и описанные
треугольники и четырехугольники.

1

1

-

Различные формулы площади и их
применение.

2

1

1

Теоремы Чевы, Эйлера, Стюарта,
Птолемея.

12

5

7

Стереометрия

12

6

6

Сечения многогранников.

3

1

2

Многогранники и тела вращения.

3

1

2

Формулы Симпсона, ПаппаГюльдена

4

3

1

Углы между прямыми, прямыми и
плоскостями.

2

1

1

Функции в задачах с
параметрами в курсе старшей
школы и на вступительных
экзаменах

34

12

22

Многочлены

2

1

1

Рациональные функции

4

1

3

№

Наименование разделов и дисциплин

1

11 класс

2

Иррациональные функции

6

2

4

Показательные функции

4

1

3

Логарифмические функции

6

2

4

Тригонометрические функции

6

3

3

Особенности заданий с
параметрами в ЕГЭ.

4

2

2

Повторение. Решение задач.

2

-

2

Календарный учебный график
10 класс
№

Дата

Форма
занятия

1

Лекция,
презентация

2

Лекция,
презентация
практика
Лекция,
презентация

3
4

Колво
Тема занятия
часов
Раздел 1. Планиметрия
1
Из истории геометрии.
Занимательные задачи по
геометрии.
1
Прямоугольный треугольник.
1
1

5

Лекция,
практика

1

6

Лекция,
презентация
практика

1

8

Лекция,
презентация

1

9

Лекция,
презентация
практика

1

Лекция,
презентация
Лекция,
презентация
Лекция,

1

7

10
11
12
13

1

1

1
1

Прямоугольный треугольник.
Вычисление медиан,
биссектрис, высот
треугольника.
Вычисление медиан,
биссектрис, высот
треугольника.
Свойства касательных, хорд,
секущих.
Свойства касательных, хорд,
секущих.
Вписанные и описанные
треугольники и
четырехугольники.
Различные формулы площади и
их применение.
Различные формулы площади и
их применение.
Теорема Стюарта и параметры
треугольников
Теорема Стюарта и параметры
треугольников
Теорема Чевы. Пересечение

Форма
контроля
Беседа
Беседа
практич. работа
Беседа
Беседа,
практ.работа
Беседа
Самост. работа
Беседа
Беседа
Беседа,
практ.работа
Беседа
Беседа, практич.
работа
Беседа

высот в треугольнике.

14

Лекция,
1
практ.занятие

Теорема Чевы. Пересечение

Самост. работа

высот в треугольнике.

15

Лекция,

1

Теорема о пересечении чевиан.

беседа

16

Лекция,
1
практ.занятие
Лекция,
1
практ.занятие
Лекция,
1
практ.занятие

Теорема о пересечении чевиан.

Тест,
практ.работа
Беседа,

Теорема Эйлера для
четырёхугольника.

Беседа,

Лекция,
практ.занятие
Лекция,
практ.занятие
Лекция,
практ.занятие
Лекция,
практ.занятие

1

Теорема Птолемея

Беседа,

1

Теорема Мансиона.

Беседа,
практ.работа
практ.работа

17
18
19
20
21
22

Теорема о прямой Эйлера.

Теоремы Чевы, Эйлера,
Стюарта, Птолемея.
1
Теоремы Чевы, Эйлера,
Стюарта, Птолемея.
Раздел 2. Стереометрия
1
Сечения многогранников.
1

практ. работа
Беседа

23

Лекция,
презентация

24

1

Сечения многогранников.

1

Сечения многогранников.

1

Многогранники и тела
вращения.

Беседа

1

32

практика

1

33

1

34

Лекция,
презентация
практика

35

практика

1

Многогранники и тела
вращения.
Многогранники и тела
вращения.
Формулы Симпсона, ПаппаГюльдена
Формулы Симпсона, ПаппаГюльдена
Формулы Симпсона, ПаппаГюльдена
Формулы Симпсона, ПаппаГюльдена
Углы между прямыми,
прямыми и плоскостями.
Углы между прямыми,
прямыми и плоскостями.
Круглый стол «Подведем
итоги»

Беседа,
практ.работа
Беседа,
практ.работа
Беседа

31

Лекция,
практ.занятие
Лекция,
презентация
Семинар,
практическое
занятие
Лекция,
практ.занятие
Лекция,
практ.занятие
Лекция,
презентация
Лекция,
презентация
практика

25
26

27
28
29
30

1
1
1
1

1

Беседа,
практ.работа
Самост. работа

Беседа
Беседа, практ.
работа
Самост. Работа.
Беседа
Беседа, практич.
работа
Занимательные
вопросы

11 класс
КолФорма
во
Тема занятия
контроля
часов
Функции в задачах с параметрами в курсе старшей школы и на вступительных
экзаменах.
1
Лекция,
1
Многочлены
Беседа,
практ.занятие
2
Лекция,
1
Многочлены
Беседа,
практ.занятие
практ.работа
3
Лекция,
1
Рациональные функции
Беседа
презентация
4
Семинар,
1
Рациональные функции
Беседа,
практическое
практика
занятие
5
Семинар,
1
Рациональные функции
Практическая
практическое
работа
занятие
6
практическое 1
Рациональные функции
Самост. работа
занятие
№1
7
Лекция,
1
Иррациональные функции
беседа
презентация
8
Лекция,
1
Иррациональные функции
Беседа
презентация
9
практическое 1
Иррациональные функции
Беседа,
занятие
практ.работа
10
Семинар,
1
Иррациональные функции
Практика
практическое
занятие
11
Семинар,
1
Иррациональные функции
Практич. работа
практическое
занятие
12
Семинар,
1
Иррациональные функции
Самост. работа
практическое
№2
занятие
13
Лекция,
1
Показательные функции
Беседа
презентация
14
Практическое 1
Показательные функции
Беседа,
занятие
практ.работа
15
Семинар,
1
Показательные функции
Самост. работа
практическое
№3
занятие
16
Практическое 1
Показательные функции
Практич. работа
занятие
17
Лекция,
1
Логарифмические функции
Беседа,
презентация
18
Лекция,
1
Логарифмические функции
Беседа
презентация
19
Лекция,
1
Логарифмические функции
Беседа,
практ.занятие
практ.работа
20
Семинар,
1
Логарифмические функции
Тест
практическое
занятие
21
Семинар,
1
Логарифмические функции
Практич. работа
№

Дата

Форма
занятия

22
23
24
25
26
27
28

29
30

31
32

33

34

практическое
занятие
Практика
Лекция,
презентация
Лекция,
презентация
Лекция,
презентация
Лекция,
практ.занятие
Лекция,
практ.занятие
Семинар,
практическое
занятие
Лекция,
презентация
Семинар,
практическое
занятие
Лекция,
практ.занятие
Семинар,
практическое
занятие
Семинар,
практическое
занятие
Семинар,
практическое
занятие

1

Логарифмические функции

1

Тригонометрические функции

Самост. работа
№4
Беседа

1

Тригонометрические функции

Беседа

1

Тригонометрические функции

Беседа

1

Тригонометрические функции

практика

1

Тригонометрические функции

1

Тригонометрические функции

Беседа,
практ.работа
практич. работа

1

Особенности заданий с
параметрами в ЕГЭ.
Особенности заданий с
параметрами в ЕГЭ.

Беседа

Особенности заданий с
параметрами в ЕГЭ.
Особенности заданий с
параметрами в ЕГЭ.

Самост. работа
№5
Самост. работа
№6

1

Повторение. Решение задач.

Тест

1

Повторение. Решение задач.

Тест

1

1
1

практич. работа

Содержание образовательной программы
1. Геометрия (34 час.)

Из истории геометрии. Занимательные задачи по геометрии (1час.) Прямоугольный треугольник
(2час.) Вычисление медиан, биссектрис, высот треугольника (2час.) Свойства касательных, хорд,
секущих (2час.) Вписанные и описанные треугольники и четырехугольники (1час.) Различные
формулы площади и их применение (2час.)
Теоремы Чевы, Эйлера, Стюарта, Птолемея (12час.)
Сечения многогранников (3час.) Многогранники и тела вращения (3час.) Формулы Симпсона,
Паппа-Гюльдена (4час.) Углы между прямыми, прямыми и плоскостями (2час.)
2. Функции в задачах с параметрами в курсе старшей школы и на вступительных экзаменах
(34 час.)
Многочлены (2час.) Рациональные функции (4час.) Иррациональные функции (6час.)
Тригонометрические функции (6час.) Показательные функции (4час.) Логарифмические функции
(6час.) Особенности заданий с параметрами в ЕГЭ. (4час.) Повторение. Решение задач (2час.)

Методическое обеспечение
Геометрия
1. Теорема Стюарта и параметры треугольников
Теорем и задач, которые вошли в учебники геометрии довольно много. Некоторые из них
заслуживают определённого внимания, так как обладают некоторой общностью и могут помочь в
сложных заданиях ЕГЭ.
Формулы, позволяющие определить медианы и биссектрисы треугольника по заданным
сторонам треугольника, являются частными случаями более общей формулы, которая является
основой теоремы Стюарта (Мэтью Стюарт, шотландский астроном и математик , 1717-1785).
Рассмотрим треугольник АВС (см. рис.1), в котором АВ = с, ВС = а, ВК
= х, АК = p, КС = q, АС = b. Задача состоит в том, чтобы по заданным
четырём параметрам – а, с, p, q – определить отрезок ВК.
Рис.1
Воспользуемся

BК 
x2 

известным


p 
q
a 
c ,
pq
pq

равенством
из

которого

p2
q2
2 pq  
2

a

 c2 
a c .
2
2
 p  q
 p  q
 p  q 2

для

векторов


BA  c

после возведения в
 

,

квадрат


BC  a

,

получаем

С другой стороны, 2a  c  a 2  c 2  b 2 .


BК  x

:

выражение

Таким образом, после подстановки и некоторых преобразований, можно получить формулу для
определения отрезка ВК: x 2 

p
q
 a2 
 c 2  pq .
pq
pq

Тот же результат можно получить, если записать теорему косинусов для треугольников АВК и АВС,
выбрав общий угол А.
Рассмотрим частные случаи этой формулы.
Пусть ВК является медианой. Тогда p  q 

1).

m2 

b
и имеем формулу для расчета
2

медиан

a2  c2 b2
 .
2
4

2). Пусть ВК является биссектрисой. Тогда p q  c a и получаем формулу для

биссектрисы  2  ac  pq .

2
2
Если ВК – отрезок в равнобедренном треугольнике, то в этом случае x  a  pq , где а – боковая

3).

сторона треугольника.
Следующие

формулы

для

биссектрисы

являются

необходимым дополнением к решению треугольников.
Формула  
соотношения

2ac  cos
ac

легко получается из простого

S ABN  S BNC  S ABC

(все

обозначения

соответствуют рис.2).

Рис. 2

Формула для биссектрисы, выраженная через три

стороны

треугольника, получается после ряда преобразований. Так
b 2  a 2  c 2  2ac  cos 2  (a  c) 2  4ac  cos2 

,

как

откуда
Рис. 3

(a  c) 2  b 2
cos  
, то первую формулу для биссектрисы
4ac

легко

2

преобразовать в следующую:  2 





4a 2c 2 cos2 
ac
acb2
2
2


(
a

c
)

b

ac

. Таким образом, имеем
(a  c) 2
(a  c) 2
(a  c) 2


b2 

  ac  1 
2  .
 (a  c) 
Учитывая, что p q  c a  b  q  q , получаем ещё ряд полезных соотношений: q 

bc
ab
, p
ac
ac

включая

и уже полученный ранее результат  2  ac  pq .
Формула для медианы, полученная ранее, также выводится из других источников. Например, следует из
известного равенства для параллелограмма d12  d 22  2(a 2  b 2 ) , если в нём принять AB  d1  c ,
CD  d 2  2m (см. рис.3). В результате получаем следующее выражение m 2 

a2  b2 c2

.
2
4

Этот же результат можно получить,

α

применяя теорему косинусов для
треугольников ABC и AOC, выбрав

также

в

теме

многоугольники”
встречаются

часто

ctg α

2 3

2 3

6 2
4

18°

5 1
4

5 5
8

52 5
5

52 5

22,5°

2 2
2

2 2
2

2 1

2 1

36°

5 5
8

52 5

52 5
5

тригонометрические

функции 15, 22,5, 18, 36 и других.

tg α

6 2
4

“Правильные
довольно

cos α

15°

общий угол ОАС.

При решении треугольников, а

sin α

Поэтому таблицы функций для 30,

1 5
4

45, 60, 90 следует дополнить и этими данными. Если для 15 ○, 22,5○ можно воспользоваться
обычными формулами половинного угла, то для функций 18○, 36○ формулой синуса тройного угла:

sin 360  cos 540  cos(3  180 ) ,
sin 180 

2 sin 180 cos180  4 cos3 180  3 cos180 ,

4 sin 2 180  2 sin 180  1  0 ,

5 1
5 1
 cos 720 , cos 36 
 sin 54 .
4
4

Таким образом,
дополнение к таблице тригонометрических функций имеет вид:
При решении планиметрических или стереометрических задач иногда пользуются формулой Герона.
Как правило, в этом случае стороны треугольника соответствуют сторонам так называемого рационального
треугольника. Это треугольник, у которого стороны, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей
представляют собой рациональные числа. Приведем ряд формул, с помощью которых всегда можно
воссоздать рациональный треугольник.
A

B

1  tg tg
А
B
C
A B
2 2 . Далее воспользуемся тем, что

Итак, пусть даны tg
и tg , тогда tg  ctg
A
B
2
2
2
2
tg  tg
2

2

C
B
A
2 tg
2 tg
b
a
2 
2 
2  c .
sin A 
, sin B 
, sin C 
C 2R
B
A
2R
2R
1  tg 2
1  tg 2
1  tg 2
2
2
2
2 tg

Учитывая то, что S 

abc
A
B
и S  pr , при рациональных значениях tg , tg и R получаем рациональные
4R
2
2

1
1
A 1
B 1
C
12  11
значения a, b, c и S. Например, пусть tg  , tg  , тогда tg 
1
1 7
2
2 4
2 3

4 3



sin A 

1
2
1
1
16



8
,
17

11
2
2
3
7  77 . Теперь пусть R  85 2 , тогда будет a = 40, b = 51, c = 77, S = 924 и r =
sin B  3  , sin C 
121 85
1 5
1
1
49
9

11.
Следует отметить, что в случае иррациональных сторон треугольника лучше воспользоваться другой
формулой площади, легко получаемой из формулы Герона: S 

1
(a 2  b2  c 2 )2  2(a 4  b4  c 4 ) .
4

2. Теорема Чевы. Пересечение высот в треугольнике.
В обязательный минимум содержания основных образовательных программ профильного
уровня по геометрии входят известные теоремы планиметрии: теорема Чевы и теорема Менелая. Но
эти теоремы интересны ещё и своими следствиями. Прежде обратимся к самой теореме Чевы
(Джованни Чева, итальянский математик, 1648-1734).
Теорема Чевы
Если на сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС (рис.4)

взяты

соответственно точки С1, А1, В1, то отрезки АА1, ВВ1,

СС1

пересекаются в одной точке тогда и только тогда,

когда

АВ1  СА1  ВС1  В1С  А1 В  С1 А
В

основе

доказательства

(*)
прямой

Рис.4
теоремы

лежат

следующие соображения. Пусть отрезки пересекаются в точке О,
тогда

AВ1 S AOB1 S ABB1 S ABB1  S AOB1 S AOB
. При выводе был использован принцип равных




B1C S B1OC S B1BC S B1BC  S B1OC S BOC

отношений:

a c ac ac
 

.
b d bd bd

Таким образом, имеем:

AВ1 S AOB
,

B1C S BOC

ВС1 S BOC
,

С1 А S AOC

A1C S AOC
. Перемножая эти выражения,

ВA1 S AOB

получаем соотношение (*).
В обратной теореме на сторонах треугольника взяты точки С1, А1, В1 так, что выполняется равенство
(*). Пусть точка О  АА1  СС1 . Проведём ВО , которая пересекается с АС в точке В2 . По
доказанному выше, имеем равенство: АВ2  СА1  ВС1  В2С  А1 В  С1 А . Поделив оба выражения друг
на друга почленно, окончательно приходим к выводу, что

AВ1 AВ2
, т.е. точки В1 и В2 делят

B1C B2 C

сторону АС в одном и том же отношении, что означает совпадение этих точек и исходные отрезки
пересекаются в одной точке.
Воспользовавшись этим результатом, докажем теперь теорему о пересечении чевиан.
Теорема о пересечении чевиан
Чевианы в треугольнике АВС точкой пересечения О делятся в отношении

ВО ВС1 ВА1


, считая от вершины.
ОВ1 С1 А А1С
Имеем,

с

одной

стороны:

ВС1 S BOC

С1 А S AOC

и

ВA1 S AOB

A1C S AOC

.

Откуда

следует,

что:

ВС1 ВА1 S BOC  S AOB S ABC  S AOC
. С другой стороны, получаем такой же результат из другого



С1 А А1С
S AOC
S AOC
условия:

ВO BB1  OB1 S ABC  S AOC
. Таким образом, утверждение теоремы доказано.


OB1
OB1
S AOC

Рассмотрим частные случаи этой формулы. В случае медиан получаем классический результат:
ВО 2
ВО ВС1 ВА1
 .


 1  1  2 или
ОВ1 1
ОВ1 С1 А А1С

В случае пересечения биссектрис следует учесть, что
имеем:

ВС1 ВС
ВА1 ВА
и
. Таким образом,


С1 А АС
А1С СА

ВО ВС  ВА

.
ОВ1
СА

При пересечении высот следует учесть, что каждый отрезок можно записать через высоты и углы
треугольника. А именно,
получаем

ВО ВС1 ВА1 СС1  ctgB АА1  ctgB
. В результате окончательно




ОВ1 С1 А А1С СС1  ctgA АА1  ctgC

ВО tgА  tgC

. Конечно, данный результат можно получить и другим путём, не
ОВ1
tgВ

используя теорему о чевианах. Однако, такой подход наиболее оптимален.
Рассмотрим задачи, где используется полученное выше выражение для высот.
Теорема о прямой Эйлера
В любом треугольнике центр описанной окружности О,
ортоцентр Р и точка пересечения медиан М лежат на

одной прямой, причём точка М делит отрезок ОР так, что
Прежде,

чем

перейти

к

доказательству,

следует

РМ 2
 .
МО 1

напомнить

известное

в

планиметрии

тригонометрическое тождество для треугольника tgA  tgB  tgC  tgA  tgB  tgC , которое легко
доказывается, если в правую часть подставить следующее равенство tgC  tg ( A  B) 
Итак, в треугольнике АВС,

tgA  tgB
.
tgA  tgB  1

СН – высота, NО – серединный перпендикуляр, точка О – центр

описанной окружности, точка Р – ортоцентр. Пусть точка М есть пересечение медианы NС и отрезка
РО. Из подобия треугольников

NОМ и РМС следует пропорция

доказана, если будет доказано, что

РС  СН 

PC PM MC
. Теорема будет


ON OM NM

PC
tgA  tgB
PC 2
, откуда следует
 . Итак,

ON 1
CH  PC
tgC

tgA  tgB
tgA  tgB
AB
 СН 
. Учитывая, что ACB  AON , имеем ON 
,
tgA  tgB  tgC
tgA  tgB  tgC
2tgC

где AB  AH  HB  CH  ctgA  ctgB . Таким образом, ON 
выполнение равенства

СН
tgA  tgB

, что и означает
2 tgA  tgB  tgC

PC 2
 . Теорема доказана.
ON 1

Теорема Эйлера для четырёхугольника

Пусть x, y, z, t – отрезки диагоналей четырёхугольника со
сторонами а, b, с, d; угол между диагоналями φ, Р – середина
АС, а Q – середина BD, тогда OP 
OQ 

xz
xz
z
2
2

и

ty
. Теорема косинусов для OPQ имеет вид:
2

t  y  x z
 t  y  x  z 
PQ  
 

 2
 cos  , или
 2   2 
 2  2 
2

2

2

4PQ 2  x 2  y 2  z 2  t 2  2ty  2 xz  2 tx  yz  yx  zt  cos  .
Введем в рассмотрение треугольники АОВ, AOD, BOC, COD. Для них выполняются равенства:

a 2
 2
b
 2
c
d 2

 x 2  y 2  2 xy cos 
 y 2  z 2  2 yz cos 
, из которых следует, что
 z 2  t 2  2 zt cos 
 x 2  t 2  2 xt cos 

a 2  b 2  c 2  d 2  2 x 2  2 y 2  2 z 2  2t 2  2 yz  xt  zt  xy cos  .

Таким образом, 4PQ 2  a 2  b 2  c 2  d 2  x 2  y 2  z 2  t 2  2ty  2 xz 
2
2
 a 2  b 2  c 2  d 2   x  z    y  t  , или a 2  b 2  c 2  d 2  d12  d 22  4PQ 2 ,

что и составляет содержание теоремы Эйлера.
В случае трапеции в наших обозначениях имеем PQ   d  b 2 и ВС || AD, тогда
a 2  b 2  c 2  d 2  d 12  d 22   d  b 



2

a 2  c 2  2db  d12  d 22

В случае же параллелограмма PQ = 0, а = с и b = d, тогда





d12  d 22  2 a 2  b 2 .

Кстати, последней формулой можно воспользоваться для более простого доказательства теоремы
Эйлера. А именно, если считать треугольник ABD как половину соответствующего





параллелограмма, то a 2  d 2  2 QB 2  AQ 2 . Аналогично, считая треугольник BCD половиной





параллелограмма, имеем b 2  c 2  2 QC 2  BQ 2 . Таким образом,

a 2  b 2  c 2  d 2  4BQ 2  2( AQ 2  CQ 2 ).
Теперь считаем треугольник ACQ половиной параллелограмма. В этом случае:

AQ 2  CQ 2  2( PQ 2  AP 2 ). Учитывая, что 4 BQ 2  d 22 , 4 AP 2  d12 , получаем формулу Эйлера.
Из той же системы равенств получаем следующую цепочку:

a 2  c 2  b 2  d 2   xy  zt  yz  xt 2 cos   a 2  c 2  b 2  d 2  2 x  z  y  t  cos  , откуда
окончательно имеем выражение a 2  c 2  b 2  d 2  2 d1d 2 cos .
Таким образом, диагонали четырёхугольника принадлежат перпендикулярным прямым
тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.
3. Теорема Птолемея
Клавдий Птолемей (ок.100-ок.178)–
древнегреческий астроном, математик, географ.

Он ввёл

понятия широты и долготы местности. Автор

«Великого

математического построения астрономии в 13

книгах»

(«Альмагест»), в котором, в частности,

изложены

сведения по прямолинейной и сферической
тригонометрии и дана теорема о выпуклом
четырёхугольнике, вписанном в окружность.
теореме он составил таблицу хорд, которой
воспользовался для астрономических
вычислений.

Благодаря

Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника
равна произведению его диагоналей d1d2  ас  bd

Общая формула площади четырёхугольника и теорема Птолемея
Рассмотрим теперь в общем виде взаимосвязь параметров четырехугольника. Все обозначения даны
на рисунке: d1, d2 – диагонали четырёхугольника со
сторонами а, b, с, d и углом между диагоналями φ, По
теореме косинусов выразим ÀÑ 2 из треугольников АВС и
ACD и приравняем:
a 2  b 2  2ab cos B  c 2  d 2  2cd cos D

или a 2  b 2  c 2  d 2  2 ab cos B  cd cos D  
2

 a 2  b2  c2  d 2 

  a 2 b 2 cos 2 B  2abcd cos B cos D  c 2 d 2 cos 2 D
2



(1)

Для площади четырехугольника АВСD имеем очевидное соотношение:
S

1
 ab sin B  cd sin D  , откуда 4S 2  a 2 b 2 sin 2 B  2abcd sin B sin D  c 2 d 2 sin 2 D .
2

(2)

2

 a 2  b2  c2  d 2 
  4 S 2  a 2 b 2  2abcd cosB  D   c 2 d 2 .
Сложив (1) и (2), получим 
2



Преобразуем выражение (3) для площади S:

16S 2   a 2 b 2  c 2 d 2  4  8abcd cosB  D    a 2  b 2  c 2  d 2  
2

 4 a 2 b 2  c 2 d 2   16abcd cos 2

2
BD
 8abcd   a 2  b 2  c 2  d 2  
2

 4 ab  cd    a 2  b 2  c 2  d 2   16abcd cos 2
2

2





BD

2



 2ab  2cd  a 2  b 2  c 2  d 2 2ab  2cd  a 2  b 2  c 2  d 2  16abcd cos 2


 c  d 

2

 a  b 

2

 a  b

2



 c  d   16abcd cos 2
2

BD

2

 c  d  a  b c  d  a  b a  b  c  d a  b  c  d   16abcd cos 2
 2 p  2a 2 p  2b 2 p  2c 2 p  2d   16abcd cos 2

BD
.
2

BD

2

BD

2

(3)

Отсюда следует формула площади: S 

 p  a  p  b p  c p  d   abcd cos 2 B  D
2

Если четырехугольник можно вписать в окружность, то B + D = 180, тогда получаем
S

известную формулу Брахмагупты:

 p  a p  b p  c p  d 

Брахмагупта (ок. 598 – 660) – индийский математик и астроном.
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то a + с = b + d , p = a + c = b + d и
S  abcd sin

BD
2 .

Наконец, если четырехугольник можно вписать в окружность и в него, в

свою очередь, можно вписать окружность, то

S  abcd .

Для дальнейших преобразований воспользуемся формулой, полученной в параграфе «Теоремы
Эйлера»: a 2  c 2  b 2  d 2  2 d1d 2 cos
С учетом этого и того, что 2S  d1 d 2 sin  , получаем следующую систему:


4S 2  d 12 d 22 sin 2 

 2
2
2
2
2
 a  c  b  d 
 d 12 d 22 cos 2 


2


Складывая данные равенства, получаем:
d 12 d 22  a 2  c 2  b 2  d 2
S 
 
4
4

2





2

(4)

Второе выражение для площади получим, разделив равенства системы друг на друга почленно:

S

a2  c2  b2  d 2
tg 
4

Выпишем выражения (3) и (4) в систему:
2

 a 2  c 2  b2  d 2 
2
2 2

4 S  d1 d 2  
2




2
2
2
2 2
4 S 2  a 2 b 2  c 2 d 2  2abcd cosB  D    a  b  c  d 



2




 a 2  b 2  c 2  d 2
d d  a b  c d  2abcd cosB  D   
2

2
1

2
2

2

2

2



2

Поскольку a 2  b 2  c 2  d 2

 a
2

2

 c2  b2  d 2



2



Отсюда

2

  a2  c2  b2  d 2
 
2
 





2

 4 a 2b 2  b 2 d 2  a 2 c 2  c 2 d 2


.





то

d12 d 22  a 2 c 2  b 2 d 2  2abcd cosB  D 

Таким образом, при B + D = 180 получаем


d12 d 22  a 2 c 2  b 2 d 2  2abcd

d1 d 2  ac  bd

С другой стороны, если d1 d 2  ac  bd , то из этого выражения следует, что cosB  D  1 ,
откуда B + D = 180.
Это и есть обобщённая теорема Птолемея для четырехугольника, вписанного в окружность.
Задачи на теорему Птолемея
1. На окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, взята произвольная
точка М, отличная от А, В и С. Доказать, что один из отрезков АМ, АВ, АС равен сумме двух
других.
2. В шестиугольнике АВСDЕF, вписанном в окружность, АС = СЕ = ЕА, BE  DA  FC  p .
Найти периметр шестиугольника.
3. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около треугольника окружность
в точке D. Докажите, что АВ  АС  2  AD .
4. На дуге СD описанной около квадрата АВСD окружности взята точка Р. Докажите, что:
PA  РВ
.
РA  РC  2  РВ ; РA  РC  2  РD ; РC  РD 
2 1
5. Дан параллелограмм АВСD. Окружность, проходящая через точку А, пересекает отрезки АВ,
АС, АD в точках Р, Q, R соответственно. Докажите, что АР  АВ  AR  AD  AQ  AC .
6. Докажите, что в остроугольном треугольнике сумма расстояний от центра описанной
окружности до сторон равна сумме радиусов описанной и вписанной окружностей.
7. На гипотенузе треугольника АВС с катетами a и b построен квадрат. Найти расстояние от
вершины треугольника С до точки пересечения диагоналей квадрата.
8. На сторонах прямоугольного треугольника с катетами a и b построены квадраты, лежащие
вне треугольника. Найти площадь треугольника с вершинами в центрах Теорема Мансиона
Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится
описанной окружностью пополам. Пауль Мансион – бельгийский математик, 1844-1919 г.
Пусть N – середина отрезка ЕО. Докажем, что в этом случае отрезок РN есть радиус
описанной окружности. Итак,

PN 2 

PE 2  PO 2 EO 2 R 2  2 Rr  R 2  2 R (   r ) 2
(  r)2
.



 R 2  R(   r ) 
2
4
2
2 
2 
4 sin
4 sin
2
2



(  r)
PN 2  R 2  (   r ) R 


4 sin 2

2





à  tg


2
  R 2  (   r ) R 



4 sin 2


2





a 
2
  R 2  (   r ) R 
R
2 sin  





Теоремы Паппа-Гюльдена
В процессе написания новых стандартов по математике за последние 40 лет произошла
потеря очень интересных и несложных теорем, которые были раньше в программе. Одна из потерь –
теоремы Паппа (александрийский математик 3в н.э.) – Гюльдена (швейцарский математик 17в.).
Теоремы не только легко выводятся, но и легко запоминаются.
Теорема 1. Площадь поверхности вращения плоской кривой вокруг не пересекающей её оси
равна произведению длины этой кривой на путь, проходимый её центром тяжести.
На рисунке показана кривая, вращающаяся вокруг оси Ох. Разбиваем кривую на отрезки длиной dl с
координатой у. У каждого отрезка центр тяжести совпадает

с

координатой. Масса i-того отрезка тi равна длине отрезка,

т.е.

1  ( y ) 2 dx , а масса всей кривой М равна длине кривой на

отрезке. Таким образом, ордината центра тяжести кривой
замене

yc 

суммирования

m y
i

b

i

i

M



 ydl
a

L

b



y

интегрированием

данном
при

равна:

1  ( y ) 2 dx

a

L

.

С другой стороны,
b

поверхность

тела вращения равна S âð   y 1  ( y ) 2 dx . В результате получаем формулу,
a

соответствующую первой теореме Паппа-Гюльдена: Sв р  2  ус  L .
Теорема 2. Объём тела вращения плоской фигуры вокруг не пересекающей её оси равен
произведению площади этой фигуры на путь, проходимый её центром тяжести.
Если первая теорема мало применима, поскольку вычисление длины какой-либо дуги или
площади поверхности вращения сводятся в большинстве

случаев

к достаточно сложным интегралам, то вторая теорема
предоставляет большие возможности для использования.
Итак,

на рисунке показана криволинейная трапеция,

вращающаяся вокруг оси Ох. Разбиваем пластинку на

полоски

толщиной dx
и длиной у. У каждой полоски центр тяжести лежит на середине. Масса i-той полоски тi равна
площади этой полоски, т.е. уi dx ,

а масса всей пластинки М равна площади криволинейной

трапеции. Таким образом, ордината центра тяжести криволинейной трапеции при замене

суммирования интегрированием равна: y c 

 mi
i

M

yi
2

b



y

2

dx

a
b

.

С другой стороны, объём тела

2 ydx
a

b

вращения равен V    y 2 dx . В результате получаем формулу, соответствующую второй теореме
a

Паппа-Гюльдена: V  2  ус  S .


Пусть дана функция у  sin x на отрезке 0;   . Тогда S   sin xdx  2 , объём тела вращения
0



вокруг оси Ох Vx    y 2 dx 

2

0

2

. Ордината центра тяжести пластинки у с 


8

.

Пусть теперь вращение происходит вокруг оси Оу и вращается пластинка с границами,
соответствующими множеству точек у  sin x в том же отрезке 0;   . В этом случае

S  4 , абсцисса центра тяжести хс 


2

и объём тела вращения (подобного тору) V у  4 2 .

Задачи на теорему Паппа-Гюльдена
1. Прямоугольник со сторонами а и b вращается вокруг оси, проходящей через вершину и
параллельно диагонали. Найдите площадь поверхности тела вращения и его объём.
2. Правильный шестиугольник вращается вокруг одной из сторон, равной а. Найдите площадь
поверхности тела вращения и его объём.
3. Правильный восьмиугольник вращается вокруг одной из сторон, равной а. Найдите площадь
поверхности тела вращения и его объём.
4. Найдите объём и площадь поверхности тора с радиусом сечения, равным r и расстоянием до
центральной оси, равным а.

Дополнительные формулы объёма многогранников
1. Формула Ньютона – Симпсона

Тело, имеющее объём, расположено между плоскостями z  0 и z  h . Известно, что площадь
сечения тела плоскостью z  const есть функция вида S ( z )  az 2  bz  c , 0  z  h . Доказать
формулу V 


h 
h
  S (0)  4S    S (h)  .
6 
2

h

Найдём объём тела из общей формулы V   S ( z )dz 
0





ah 3 bh 2
h

 ch  2ah 2  3bh  6c . С другой
3
2
6



S (0)  c

стороны, запишем систему равенств:  S (h)  ah 2  bh  c . В результате сложения получаем
 h
2
4S    ah  2bh  4c
 2
выражение в скобках в формуле объёма, приведённой выше. Так как для пирамиды, усечённой
пирамиды, конуса, усечённого конуса, шара, призмы необходимое условие квадратичной
зависимости площади сечения от аппликаты выполняется, поэтому формула достаточно
универсальна.
Примеры:
1.

Найдите

объём

трёхосного

эллипсоида,

заданного

своей

канонической

формулой

x2 y2 z 2


 1.
a2 b2 c2
Решение. Для вычисления объёма учтём, что S (с)  S (с)  0 , так как сечение вырождается в точку,
и

S (0)  ab , так как в сечении получается обыкновенный эллипс.

V 

2с
4
 S (с)  4S 0  S (с)   abc .
6
3

Таким образом, имеем

2. Объём многогранника, в который вписан шар
Пусть в тетраэдре АВСD точка О – центр вписанной сферы. Тогда объём каждой пирамиды ОАВС,
ОВСD, ОСDА, ОВDА равен

1
r  S i , где r – высота каждой пирамиды, а Si – площади граней
3

1
исходного тетраэдра. Таким образом, объём тетраэдра АВСD вычисляется по формуле V  r  S полн. .
3

Очевидно, что формула применима к любому многограннику, в который можно вписать шар.
3. Объёмы тетраэдров, имеющих равный трёхгранный угол

Исходя из рисунка, подобия треугольников и теоремы о соотношении площадей треугольников,
имеющих равный угол, определим отношение объёмов тетраэдров, имеющих равный трёхгранный
угол

VAMNK MH  S ANK MH  AK  AN AM  AK  AN



VABCD
DO  S ABC
DO  AB  AC
AD  AB  AC

Таким

образом, отношение объёмов равно отношению произведений трёх
рёбер, исходящих из вершины общего трёхгранного угла каждого
тетраэдра.
Пример: В треугольной пирамиде ABСD на ребре AD взята точка
М, а на ребре AB взята точка К так, что AМ : МD = 7 : 3, АК : КВ
= 1 : 4. Сколько процентов от объёма пирамиды ABСD составляет
объём пирамиды AMKС?
Подставим отношение отрезков в полученную выше формулу и получаем следующий результат
V AMKС
AM  AK
7 1
 100% 
 100% 
 100%  14% .
V ABCD
AD  AB
10  5

Вариант №1

Вариант №2

1. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из

1. Радиус окружности, описанной около
треугольника АВС, равен 13см,

вершины В, в отношении 5 : 4, считая
от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
АВС, если ВС = 12см.
2. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 8 см и 15 см, а
средняя линия равна 8,5 см.
3. Три окружности, радиусы которых
равны 2см, 3см и 10см, попарно
касаются внешним образом. Найдите
радиус окружности, вписанной в
треугольник, вершинами которого
являются центры этих трёх
окружностей.

ВС = 24см. Найдите, в каком
отношении, считая от вершины В,
биссектриса угла А делит высоту,
проведённую из этой вершины.
2. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 20 см и 21 см, а
средняя линия равна 14,5 см.
3. Три окружности, радиусы которых
равны 4см, 8см и 12см, попарно
касаются внешним образом. Найдите
радиус окружности, вписанной в
треугольник, вершинами которого
являются центры этих трёх
окружностей.

Вариант №1

Вариант №2

1. Треугольник, площадь которого равна
36см2, вращается вокруг одной из
сторон. Объём полученного тела
вращения 192π см3,а его поверхность

1. Треугольник, площадь которого равна
84см2, вращается вокруг одной из
сторон. Объём полученного тела
вращения 672π см3,а его поверхность

216π см2. Определить стороны
треугольника.
2. Найти косинус угла, образованного
плоскостью 4 x  12 y  6 z  13  0 с
координатной плоскостью XOY.
3. АВСD – тетраэдр. А(1;-4;-1), В(0;-2;1),
С(2;0;0), D(5;2;4). Найти длину
проекции ребра СD на плоскость АВС.

336π см2. Определить стороны
треугольника.
2. Найти угол между плоскостями
2 x  5 y  4 z  15  0 и 6x  3z  2  0
3. АВСD – тетраэдр. А(-2;0;0), В(1;2;2),
С(-2;4;2), D(2;2;4). Найти величину
угла между ребром АD и высотой,
опущенной из вершины D на
плоскость АВС.

Функции в задачах с параметрами
в курсе старшей школы и на вступительных экзаменах
За основу раздела принимается сборник задач для подготовки и проведения итоговой
аттестации за курс средней школы. Ниже приведены самостоятельные работы на параметры по всем
разделам алгебры старшей школы. Выполнение этих работ является необходимой подготовкой к
выполнению заданий в ЕГЭ

Вариант №1

Вариант №2

1. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых решения
уравнения

1. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых решения
уравнения

( х  6а) 2  ( х  2а) 2  128
симметричны относительно точки
х  12 .

( х  2а) 2  ( х  4а) 2  242
симметричны относительно точки
х  3 .

2. Для каждого значения параметра а

2. Для каждого значения параметра а

найдите число решений уравнения

найдите число решений уравнения

9(3х  1)а 2  (21х  19)а  2( х  1)  0 .

2(4 х  1)а 2  (14 х  11)а  5( х  1)  0 .

3. Найдите все значения параметра а,
3. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых больший
при каждом из которых больший
корень уравнения
корень уравнения
2
2
х  (20а  3) х  100а  30а  0 в 6 раз
х 2  (8а  7) х  16а 2  28а  0 в 10 раз
больше, чем его меньший корень.
больше, чем его меньший корень.
4. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых уравнения

4. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых уравнения

х 2  3х  7а  21  0 и

х 2  3х  7а  21  0 и

х 2  6 х  5а  6  0 имеют хотя бы
один общий корень.

х 2  6 х  5а  6  0 имеют хотя бы
один общий корень.

5. Определите, при каких значениях
параметра а неравенство
( х  а)( а  2 х  1)  0 верно для всех

5. Определите, при каких значениях
параметра а неравенство
(а  х)( х  3а  6)  0 верно для всех

х   2;3.

х  1;4 .

Вариант №1

Вариант №2

1. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых система уравнений

1. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых система уравнений

1 2
  2а,
х у
имеет хотя бы одно
5 12

 1  3а
х у

1 1
  4а,
х у
имеет хотя бы одно
4 5
  1 а
х у

решение.

решение.

2. При каждом значении параметра а
решите неравенство

3
1
 .
ах  а 5

3. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых решением
неравенства

х 2  х  12
0
х 2  (а  4) х  4а

является объединение двух
непересекающихся интервалов.

2. При каждом значении параметра а
решите неравенство

1
3
 .
ах  а 4

3. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых решением
неравенства

х 2  5х  6
0
х 2  (а  1) х  а

является объединение двух
непересекающихся интервалов.

Вариант №1

Вариант №2

1. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых уравнение

1. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых уравнение

5ах  3а  5х  3 имеет ровно одно
решение.

3ах  5а  3х  5 имеет ровно одно
решение.

2. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых неравенство

2. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых неравенство

4а 2  х 2  х  2а имеет
единственное решение.

3. Решите при всех значениях параметра

х 2  ах  х  2а .

3а 2  х 2  х  а имеет единственное
решение.

3. Решите при всех значениях параметра

х2  ах  х  2а .

Вариант №1

Вариант №2

1. При каких значениях параметра а
уравнение
(15 sin x  а  5)(15 sin x  2а  5)  0

1. При каких значениях параметра а
уравнение
(11sin x  3а  5)(11sin x  4а  3)  0

имеет ровно два решения на отрезке
0;2 ?
2. Для всех значений параметра а
решите уравнение: sin 3x  a sin x

имеет ровно два решения на отрезке
0;2 ?
2. Для всех значений параметра а
решите уравнение: cos 3x  a cos x

3. Найдите все значения параметра а,
3. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых имеет хотя бы
при каждом из которых имеет хотя бы
одно решение система уравнений
одно решение система уравнений

24 cos 2 x  11 cos 2 y  10a  17,

2
2
 33 cos x  8 cos y  28a  59.
4. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых прямая у = а
пересекает хотя бы в одной точке
график функции y 

tg 2 x  7
.
3tgx  1

 21 cos 2 x  11 cos 2 y  9a  8,

2
2
33 cos x  7 cos y  45a  64.
4. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых прямая у = а
пересекает хотя бы в одной точке
график функции y 

tg 2 x  45
.
7tgx  2

Вариант №1

Вариант №2

1. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых уравнение
25 x  (5  a 2  a  4)  5 x  a  2  0

1. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых уравнение
81x  (4  a 2  3  a  4)  9 x  2  a  3  0

имеет единственное решение.

имеет единственное решение.

2. Найдите все значения параметра а,
2. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых неравенство
при каждом из которых неравенство
x
x
2
9  (7a  1)  3  12а  a  6  0 имеет
4 x  (5a  1)  2 x  6а 2  a  2  0 имеет
единственное решение.
единственное решение.
3. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых уравнение

4 49 х 70 х 26  cos 14x  81a 2  72a  13
имеет решения. Найдите эти решения.
2

4. При каком значении а уравнение

3. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых уравнение

14 25х 10 х 2  cos 10x  36a 2  60a  12
имеет решения. Найдите эти решения.
2

4. При каком значении а уравнение

2 а22 х  2 2 х  у 2  2 у а  11
имеет единственное решение.

2 2 а 3 х  4 х 1  4 у 2  8 у а  9

имеет единственное решение.

Вариант №1

Вариант №2

1. Найдите все значения параметра b, при
каждом из которых уравнение

1. Найдите все значения параметра b, при
каждом из которых уравнение

3
 x 2  (5b  1) 2 имеет хотя бы
2
14 x  3
одно решение.
og 3

2. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых уравнение

og112 x  (10a  23)og11 x  25a 2  115a  132  0
имеет два различных корня,
равноудалённых от точки х  66 .
3. Для всех значений параметра а решить
неравенство: х oga x  a 3 x 2

og 9

9

 x 2  (13b  12) 2 имеет хотя

10 x  9
бы одно решение.
2

2. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых уравнение

og 42 x  (6a  23)og 4 x  9a 2  69a  132  0
имеет два различных корня,
равноудалённых от точки х  40 .
3. Для всех значений параметра а решить
неравенство: х oga x  a 2 x .

Список литературы

1. Малышев И.Г. и др. Элементы физико-математического моделирования в естествознании.
Элементы планиметрии в старшей школе. // Н.Новгород: Нижегородский гуманитарный
центр, 2005 г.
2. Малышев И.Г. и др. Многочлены в школьном курсе математики и на вступительных
экзаменах

// Н.Новгород: издательство ННГУ им. Н.И.Лобачевского, 2006 г.

3. Математика: 50 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ / авт.-сост.
А.П.Власова, Н.В. Евсеева, Н.И. Латанова и др. – М.: АСТ: Астрель, 2020.
4. Единый государственный экзамен 2016. Математика. Универсальные материалы для
подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр,2020.
5. ЕГЭ 2020. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р., Захаров П.И.,
Панферов В.С., Семенов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Ященко И.В. – М.:
МЦНМО,2020.
6. ЕГЭ 2020. Математика. Типовые тестовые задания / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –
М.: Издательство «Экзамен», 2020.
7. Ященко И.В., Шестаков С.А. Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2020 году.
Методические указания. – М.: МЦНМО, 2020.
8.

www.mathege.ru – Математика ЕГЭ 2020 (открытый банк заданий)